Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ x \end{array}]$

Schritt 1

Die Transformation definiert eine Abbildung von $ℝ^{2}$ auf $ℝ^{2}$ . Um zu beweisen, dass die Transformation linear ist, muss die Transformation skalare Multiplikation, Addition und den Nullvektor bewahren.

M: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Schritt 2

Beweise zunächst, dass die Transformation diese Eigenschaft erhält.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Schritt 3

Stelle zwei Matrizen auf, um den Erhalt der Additionseigenschaft für $M$ zu testen.

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Schritt 4

Addiere die zwei Matrizen.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Schritt 5

Wende die Transformation auf den Vektor an.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} + y_{2} \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

Schritt 6

Spalte das Ergebnis durch Gruppieren der Variablen in zwei Matrizen.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{2} \\ y_{1} \end{array}]$

Schritt 7

Die Additionseigenschaft der Transformation gilt.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Schritt 8

Damit eine Transformation linear ist, muss die skalare Multiplikation bei der Transformation erhalten bleiben.

$M (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Schritt 9

Faktorisiere die $p$ aus jedem Element.

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Schritt 9.1

Multipliziere $p$ mit jedem Element in der Matrix.

$M (p x) = M ([\begin{array}{c} p x \\ p y \end{array}])$

Schritt 9.2

Wende die Transformation auf den Vektor an.

Schritt 9.3

Stelle $p y$ um.

$M (p x) = [\begin{array}{c} p y \end{array}]$

Schritt 9.4

Faktorisiere Element $0, 0$ , indem du $p y$ multiplizierst.

$M (p x) = [\begin{array}{c} p (y) \end{array}]$

Schritt 10

Die zweite Eigenschaft einer linearen Transformation bleibt bei dieser Transformation erhalten.

$M (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]) = p M (x)$

Schritt 11

Damit die Transformation linear ist, muss der Nullvektor erhalten bleiben.

$M (0) = 0$

Schritt 12

Wende die Transformation auf den Vektor an.

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 13

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 13.1

Stelle $0$ um.

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 13.2

Stelle $0$ um.

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 14

Der Nullvektor bleibt bei der Transformation erhalten.

$M (0) = 0$

Schritt 15

Da alle drei Eigenschaften linearer Transformationen nicht gegeben sind, ist dies keine lineare Transformation.

Lineare Transformation